黎曼函数-笔记
黎曼函数
Riemann zeta function：
\[\begin{aligned}\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\end{aligned}\]一些常见的结论：
\[\begin{aligned}\zeta(-1)&=1+2+3+...=-\frac{1}{12}\\\zeta(2)&=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...=\frac{\pi^2}{6}\end{aligned}\]正常情况下，只有$s>1$的情况下，黎曼函数才收敛。所以$\zeta(-1)$应该是没有意义的。但其实黎曼函数涉及到 解析延拓 的概念使得其在不收敛的域上依然有定义。同时，黎曼函数不止再实数域有定义，其定义域是整个复数域。对于实数，计算黎曼函数很好理解，但是对于复数，计算黎曼函数就需要对复数的运算有一些认识。
复数运算
对于复数的加减乘除运算可以类比向量运算去计算，但计算一个数的复数次幂需要换一个思路。例如我们要计算$a^{x+iy}$, 可以分开为$a^xa^{iy}$，前面部分没有问题，后面的部分可以写成$(a^y)^i$，设$a^y=A$，则需要考虑的是$A^i$究竟是什么。值得记住的一个要点是：
$A^i$意味着在复平面上从数值1表示的点绕单位圆逆时针转$lnA$弧度后所在的位置。
例如$e^i$就是1绕复平面上单位圆逆时针转1弧度所表示的复数
$e^{i\pi}$就是1绕复平面转$\pi$弧度所表示的数，也即-1，这就是经典的欧拉公式:
\[e^{i\pi}=-1\]一个更通用的公式：
\[e^{i\theta}=cos\theta + isin\theta\]上面提到的$a^{iy}$也可以推导得到：
\[a^{iy}=e^{iylna}=cos(ylna)+isin(ylna)\]再考虑$a^x$，那么$a^{x+iy}$就相当于将$a^{x}$逆时针旋转$lna^y$。
在了解了上述事实之后，当我们将$s=x+iy$带入黎曼函数中时，可以将黎曼函数拆解：
\[\begin{aligned}\zeta(s)&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{x+iy}}\\&=\frac{1}{1^x}\frac{1}{1^{iy}}+\frac{1}{2^x}\frac{1}{2^{iy}}+\frac{1}{3^x}\frac{1}{3^{iy}}+...\end{aligned}\]当只考虑每一项的实数部分时，相当于在实轴上的一个个线段拼接起来。然后再考虑虚部，相当于将这些线段一个个旋转起来。经过这两步操作后，得到最终的黎曼函数的值。
解析延拓
Analytic continuation
// TODO
本文的图片均来自3blue1brown的视频，【官方双语】黎曼ζ函数与解析延拓的可视化